Vilka vinklar i en kon?
Hej ingenjörssnillen.
Hur ska jag ställa in gersågen om jag vill göra en kvadratisk kon med sidan 50 cm och mitten, alltså spetsen, 5 cm högre upp? Antar att längden på varje tårtbit går att räkna via pythagoras, men den andra vinkeln, den mellan varje tårtbit? Det hela är tänkt att bli tak till en grindstolpe.
Hur ska jag ställa in gersågen om jag vill göra en kvadratisk kon med sidan 50 cm och mitten, alltså spetsen, 5 cm högre upp? Antar att längden på varje tårtbit går att räkna via pythagoras, men den andra vinkeln, den mellan varje tårtbit? Det hela är tänkt att bli tak till en grindstolpe.
Hmm, min första tanke var att du nog får problem att tillverka en sån pjäs i en gersåg. Du behöver ju ett sågdjup på 50cm och det är inte så många sågar som fixar. Men sen läste jag igen och ser att du skriver tårtbitar. Är din tanke då att göra en hatt i ett skivmaterial och genom att sätta ihop 4 tårtbitar?
Isåfall kan du hitta vinklarna i modellen nedan. (här har jag använt en 20mm tjock skiva så höjden på mitten ovan stolpen blir alltså här 70mm, gissar att det är så du menar med höjden 50mm. Vinklarna blir naturligtvis samma med en annan tjocklek på skivan bara att bygghöjden blir annorlunda)
Isåfall kan du hitta vinklarna i modellen nedan. (här har jag använt en 20mm tjock skiva så höjden på mitten ovan stolpen blir alltså här 70mm, gissar att det är så du menar med höjden 50mm. Vinklarna blir naturligtvis samma med en annan tjocklek på skivan bara att bygghöjden blir annorlunda)
Tänk att ni förstod vad jag menade, bara det är en bedrift! Tack Bjoli, då blir staketstolparna klara idag!
40 min sen, men var inne och åt precis.
Det är inte så jättesvårt om man för in lite vektorer i beräkningarna. Vi lägger in konen i 'x-y'-planet med sidorna parallella med 'x'- och 'y'-axlarna. Då kommer sidorna vi är intresserade av att definieras av planen som är vinkelräta mot och skär 'x-y'-planet längs linjerna 'y = x' och 'y = -x'. Om vi kallar bredden på konen för 'b' och skillnaden i höjd mellan "omkretsen" och toppen för 'h' (ovansidan på skivan i båda fallen). Om jag har tänkt rätt så borde det bli såhär:
Lutningen på ovansidan av en tårtbit är
'a = arctan(2h/b)'
För toppvinkeln.
Vi tänker oss fortsättningen på tårtbitens sidor genom origo så pekar dessa i 'y = x' och 'y = -x' riktningarna och lite uppåt i 'z'-led
Om vi normerar vektorerna får vi
'n1 = (1, 1, sin(a)) / sqrt(2+sin^2(a))'
'n2 = (1, -1, sin(a)) / sqrt(2+sin^2(a))''
Skalärprodukten 'n1·n2 = sin^2(a) / (2+sin^2(a)) = 1 / (1+2/sin^2(a))'
Eftersom vektorerna är normerade har vi v1 = arccos(1 / (1+2/sin^2(a)))'
För vinkeln mellan toppen och sidorna på tårtbiten.
Normalvektorn för tårtbiten till vänster är 'n1 = (sin(a), 0, cos(a))'
Normalvektorn för 'y = x'-planet är 'n2 = (1/sqrt(2), -1/sqrt(2), 0)'
Skalärprodukten 'n1·n2 = sin(a)/sqrt(2)'
Eftersom vektorerna är normerade har vi 'v2 = arccos(sin(a)/sqrt(2))'
Med 'b = 50' och 'h = 5' får jag med mina formler "toppvinkeln" 'v1 = 82.029°' och "sidovinkeln" 'v2 = 88.919°'
Edit:
Det går att "snygga till" uttrycken lite grann eftersom 'sin(arctan(x/y)) = x/sqrt(x^2+y^2)' och 'cos(arctan(x/y)) = y/sqrt(x^2+y^2)'. Först sätter vi 'c = b/2' (halva sidlängden!!)
Då får vi istället
Lutningen på ovansidan av en tårtbit är
'a = arctan(2h/b)'
För toppvinkeln.
Vi tänker oss fortsättningen på tårtbitens sidor genom origo så pekar dessa i 'y = x' och 'y = -x' riktningarna och lite uppåt i 'z'-led
Om vi normerar vektorerna får vi
'n1 = (1, 1, sin(a)) / sqrt(2+sin^2(a))'
'n2 = (1, -1, sin(a)) / sqrt(2+sin^2(a))''
Skalärprodukten 'n1·n2 = sin^2(a) / (2+sin^2(a)) = 1 / (1+2/sin^2(a))'
Eftersom vektorerna är normerade har vi v1 = arccos(1 / (1+2/sin^2(a)))'
För vinkeln mellan toppen och sidorna på tårtbiten.
Normalvektorn för tårtbiten till vänster är 'n1 = (sin(a), 0, cos(a))'
Normalvektorn för 'y = x'-planet är 'n2 = (1/sqrt(2), -1/sqrt(2), 0)'
Skalärprodukten 'n1·n2 = sin(a)/sqrt(2)'
Eftersom vektorerna är normerade har vi 'v2 = arccos(sin(a)/sqrt(2))'
Med 'b = 50' och 'h = 5' får jag med mina formler "toppvinkeln" 'v1 = 82.029°' och "sidovinkeln" 'v2 = 88.919°'
Edit:
Det går att "snygga till" uttrycken lite grann eftersom 'sin(arctan(x/y)) = x/sqrt(x^2+y^2)' och 'cos(arctan(x/y)) = y/sqrt(x^2+y^2)'. Först sätter vi 'c = b/2' (halva sidlängden!!)
Då får vi istället
Redigerat:
Jag lånade bjolis bild lite för att förtydliga, hoppas det är ok. Passar också på att ursäkta att jag återanvände 'n1' och 'n2' mellan vinklarna...
Det är egentligen ganska elementärt om man kan något om vektorer. Sen är det frågan om det lika elementärt att få det "rätt" =D Så nån som kan får gärna kontrollera mitt resultat...
Det var du som bad om det (;vojma skrev: